Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral. Karena banyaknya suku bangsa di dunia sejak zaman purba,maka berkembang pula sistem numerasi yang berbeda sehingga saat ini dapat diketahui bahwa suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambang,tetapi suatu lambang tentu hanya menunjuk pada satu bilangan. Beda antara bilangan dan lambang bilangan(numeral) serupa dengan beda antara seseorang dengan namanya , beda antara benda dengan nama yang diberikan kepada benda itu, atau beda antara binatang dengan nama binatang yang ditunjuk.
Sesuai dengan urutan waktu terjadinya ,beberapa sistem numerasi yang dikenal adalah sistem mesir kuno kurang lebih (3000 SM) , sistem Babilonia kurang lebih (2000 SM), sistem Yunani Kuno kurang lebih (600 SM), Maya (300 SM) , sistem Jepang-Cina kurang lebih (200 SM) sistem Romawi kurang lebih (100 SM) sistem Hindu –Arab (300 SM-750 SM). Ragam dari lambang-lambang bilangan yang digunakan adalah sebagai berikut
Sistem Numerasi Romawi (100 S.M)
| Desimal | Romawi | Desimal | Romawi |
| 1 | 1 | 100 | C |
| 5 | V | 500 | D |
| 10 | X | 1000 | M |
| 50 | L | | |
Sasaran Belajar.
Setelah mempelajari bab ini ,mahasiswa diharapkan menguasai pengertian sistem numerasi dan algoritma dalam operasi matematika.
Sasaran belajar bab ini adalah agar mahasiswa mampu :
1) memahami beberapa sistem numerasi.
2) memahami sistem numerasi dengan menggunakan nilai tempat.
3) memahami beberapa algoritma operasi aritmatika dan sifat-sifatnya.
Latar belakang
Sejak zaman dahulu kala,manusia berkepentingan dengan bilangan untuk menghitung banyak ternaknya,mengukur luas sawahnya,untuk berkomunikasi dengan sesamanya. Kebutuhan terhadap bilangan tersebut mula-mula sederhana,tetapi makin lama makin meningkat ,sehingga manusia perlu meningkatkan dan mengembangkan sistem numerasi. Sistem numerasi pun terus berkembang selama berabad-abad ,dari masa ke masa hingga saat ini.
Dengan mempelajari sejarah perkembangan sistem numerasi ,notasi pangkat dan algoritma dalam operasi aritmatika ,kita dapat lebih menghayati ,lebih mengagumipara pendahulu kita . betapa hebat dan uletnya para penemu yang hidup pada abad-abad yang silam. Betapa indah dan menakjubkannya penemuan-penemuan di bidang matematika tersebut ,sehingga kita bisa lebih mencintai dan lebih menyukai matematika yang oleh sebagian besar murid dianggap sebagai hal yang ditakuti.
A. Beberapa sistem numerasi
Sebelum membicarakan sistem numerasi,sebaiknya kita mengenal apakah yang dimaksud dengan bilangan dan lambang bilangan? Perbandingan antara bilangan dan lambang bilangan adalah antara objek dan objek nama tersebut. Nomor halaman yang anda lihat pada halaman ini bukanlah suatu bilangan melainkan lambang bilangan.
Lambang bilangan adalah simbol yang melambangkan suatu bilangan simbol yang digunakan untuk menyatakan / menggambarkan suatu bilangan dapat bermacam-macam misalnya 4; 2+2; 2.2; 3+1; dan sebagainya. Semua simbol tersebut menyatakan sebuah bilangan yang sama .
Untuk membuat lambang bilangan digunakan simbol yang disebut bagian ini akan membicarakan beberapa macam angka yang digunakan untuk menyatakan bilangan dalam sistem numerasi.
Secara umum , sistem numerasi yang pertama-tema digunakan, merupakan sistem penjumlahan,sistem perkalian,dan sistem nilai tempat. Penjumlahan yang mula-mula digunakan dinyatakan dalam sekumpulan simbol-simbol. Sebuah bilangan yang dinyatakan dengan kumpulan simbol merupakan jumlah dari bilangan-bilangan yang dinyatakan oleh masing-masing simbol .
Misalnya:
a) adalah simbol-simbol dalam sistem mesir , artinya 111(=100+1
b) adalah simbol-simbol dalam sistem romawi yang artinya 11(=10
berikut ini akan dikenalkan beberapa sistem numerasi yang pernah digunakan dan dikembangkan oleh para pendahulu kita.
1. Sistem Turus
Salah satu sistem numerasi yang pertama-tama digunakan adalah sistem turus,sistem ini menggunakan simbol tongkat untuk menyatakan suatu bilangan.
Misalnya llllll ,menunjukkan bilangan 6 ternak . hingga saat ini pun kita masih menggunakan sistem turus ini . misalnya untuk mencatat skor suatu pertandingan olahraga.sebagai ilustrasi : 5 lllll. Merupakan simbol-simbol yang menunjukkan bilangan yang sama.
2. Sistem Mesir Kuno
sistem numerasi ini merupakan salah satu pelopor dari sistem penjumlahan yang tercatat dalam sejarah yaitu kurang lebih 3000 S.M. ( Glenn John and Litter, Graham dalam A dictionary of mathematics,1984,p.58) tulisan pada jaman mesir ((kurang lebih 650 S.M)ditulis pada papyrus (dari kata papu,yaitu semacam tanaman) atau pada perkamen (kulit kambing)
sistem numerasi ini menggunakan simbol berupa gambar-gambar
simbol simbol sistem mesir
1 = tongkat
10 = tulang tumit
100 = gulungan tali
1000 = bunga teratai/lotus
10000 = telunjuk
100000 = ikan burbot
1000000= orang terheran-heran
Simbol-simbol dalam sistem mesir dapat diletakkan dengan urutan sembarang. Sehingga untuk menyatakan suatu bilangan yang sama dapat ditulis dengan beberapa cara. Dengan perkataan lain, sistem mesir tidak mengenal nilai tempat (sedang dalam sistem yang kita gunakan. 43 nilainya berbeda dengan 34).
Dengan sistem mesir ini juga dapat dilakukan penjumlahan.
Catatan: sebenarnya apakah yang dilakukan dalam operasi penjumlahan dengan menggunakan sistem mesir di atas? Tak lain ,hanyalah melakukan pengelompokkan ulang.
10 tongkat = menjadi 1 tulang tumit
10 tulang tumit = menjadi 1 gulungan
10 gulungan =menjadi tanda 1 bunga teratai
Demikian seterusnya
3. Sistem Babilonia
Sistem numerasi babilonia ini digunakan kira-kira 3000 S.M (Glenn John and Litter, Graham dalam A dictionary of mathematics , 1984)
Pada masa itu orang menulis angka-angka dengan sepotong kayu pada tablet yang terbuat dari tanah liat ( clay tablets)
Simbol baji digunakan untuk menyatakan 1 dan simbol “<” untuk 10 , kedua simbol tersebut digunakan untuk menyatakan bilangan – bilangan 1-59, yaitu dengan cara menuliskan kedua simbol itu secara berulang-ulang.
Selanjutnya untuk menyatakan 60 dan 1 ditulis dengan simbol yang sama , yaitu * * , beda antara dengan 60 dan 1 ditunjukkan dengan adanya jarakyang agak jauh diantarasimbol-simbol itu.
a) berarti 1.60+1=71
b) berarti 2.60+2=122
c) berarti 11.60+21=681
ciri-ciri dari sistem babilonia :
a. menggunakan bilangan dasar (basis)60
b. menggunakan nilai tempat (setiap posisi dipisahkan oleh sebuah jarak)
c. simbol-simbol yang digunakan adalah
d. tidak mengenal simbol nol
4. Sistem Maya
Sistem ini menggunakan basis 20, tetapi bilangan kelompok kedua adalah (18) (20) sebagai ganti dari (20)2, bilangan kelompok ketiga adalah (18) (20)2 sebagai ganti dari (20)3 dan seterusnya (18) (20)n.
Bilangan-bilangan di bawah basis (20) ditulis secara amat sederhana dengan titik (krikil) untuk satu dan tangkai (‘’__”) untuk lima.
Simbol-simbol Maya
| 0ѳ | 0 | __ |
| 0 | 1 | 5 |
Ciri-ciri sistem numerasi Maya:
a) Menggunakan basis 20
b) Mengenal simbol 0 yaitu (ѳ)
c) Ditulis secara tegak atau vertikal.
5. Sistem romawi ( kurang lebih 500 SM – 1600)
Sistem numerasi romawi ini menggunakan basis 10 . pada dasarnya , sistem romawi ini merupakan sistem penjumlahan dan sistem perkalian. Jika simbol-simbol sebuah angka mempunyai nilai yang menurun dari kiri ke kanan,maka nilai angka tersebut dijumlahkan . sebaliknya jika sebuah angka mempunyai nilai yang naik dari kiri ke kanan,maka nilai angka tersebut dikurangkan.dalam hal pengurangan.
Sebuah angka tidak pernah ditulis lebih dari 2 simbol,misalnya IV,IX,XI,CD,CM.
Contoh ;
CX = 100+10=110 (dari kiri ke kanan nilainya menurun,jadi dijumlahkan)
XC=100-10 =90 (dari kiri ke kanan nilainya naik,jadi dikurangkan)
6. Sistem Arab Hindu (Mulai dipakai kurang lebih tahun 1000)
Ciri-ciri sistem Arab Hindu:
a. Menggunakan basis 10
b. Menggunakan nilai tempat
c. Menggunakan angka : 1 2 3 4 ..... 9
d. Mengenal simbol 0
Karena sistem ini menggunakan basis 10 maka disebut juga sebagai sistem desimal. Sistem desimal ini menggunakan ide nilai tempat, misalnya 492:
4 menunjukkan 4 buah himpunan seratusan (400)
9 menunjukkan 9 buah himpunan sepuluhan (90)
2 menunjukkan 2 buah himpunan satuan (2)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar